Question

已知⊙C1：(x+2

5

)2+y2=4，⊙C2：(x-2

5

)2+y2=4，
（1）若动圆M与⊙C₁内切，与⊙C₂外切，求动圆圆心M的轨迹E的方程；
（2）若直线l：y=kx+1与轨迹E有两个不同的交点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,轨迹方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心M的轨迹，进而可求其方程．
（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，注意有两个负根的条件，解不等式组，即可得到k的范围．

解答： 解：（1）设动圆圆心M（x，y），半径为r，
∵圆M与⊙C1：(x+2

5

)2+y2=4内切，与⊙C2：(x-2

5

)2+y2=4外切，
∴动圆M包含圆C₁，∴|MC₁|=r-2，|MC₂|=r+2，
∴|MC₂|-|MC₁|=4＜4

5

，
由双曲线的定义，M的轨迹为以C₁，C₂为焦点的双曲线的左支，
可得a=2，c=2

5

，则b²=c²-a²=16，
∴动圆圆心M的轨迹方程：

x2

4

-

y2

16

=1（x＜0）；
（2）将直线l：y=kx+1代入双曲线方程，消去y整理得，
（4-k²）x²-2kx-17=0，①
由于直线l：y=kx+1与轨迹E有两个不同的交点，
则①有两个不相等的负根，
即有△＞0，且x₁+x₂＜0，且x₁x₂＞0，
即4k²+68（4-k²）＞0，且

2k

4-k2

＜0，且

-17

4-k2

＞0，
解得2＜k＜

17

2

．
即k的取值范围是（2，

17

2

）．

点评：本题考查两圆的位置关系及判定方法和双曲线的定义和标准方程，要注意双曲线方程中三个参数的关系：b²=c²-a²，同时考查直线与双曲线的位置关系，注意联立方程组，消去未知数，运用韦达定理和判别式解题，属中档题．