Question

已知首项为

3

2

，公比不等于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^* ），且-2S₂，S₃，4S₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=n|a_n|，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n并比较T_n+b_n 与6大小．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得2S₃=-2S₂+4S₄，由此求出公比q=-

1

2

，从而能求出数列{a_n}通项公式．
（Ⅱ）bn=n|an|=n•

3

2

•(

1

2

)n-1=

3n

2n

，由此利用错位相减法能求出Tn=6-

3n+6

2n

，并求出Tn+bn=6-

6

2n

＜6．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得2S₃=-2S₂+4S₄，
即（S₄-S₂）+（S₄-S₃）=0，亦即（a₄+a₃）+a₄=0，
∴

a4

a3

=-

1

2

，∴公比q=-

1

2

，…4分
于是数列{a_n}通项公式为an=

3

2

(-

1

2

)n-1(n∈N*)．…5分
（Ⅱ）bn=n|an|=n•

3

2

•(

1

2

)n-1=

3n

2n

，
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=

3

21

+

6

22

+

9

23

+…+

3n

2n

，①

1

2

Tn=

3

22

+

6

23

+…+

3(n-1)

2n

+

3n

2n+1

，②…8分
①-②得，

1

2

Tn=

3

21

+

3

22

+

3

23

+…+

3

2n

-

3n

2n+1

=3

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

3n

2n+1

=3-

3n+6

2n+1

，
∴Tn=6-

3n+6

2n

，…11分
∴Tn+bn=6-

6

2n

＜6….12分．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．