Question

已知函数f（x）=e^x（ax²+x+1），a∈R；
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在[0，1]上的最大值为

3e

2

，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=e^x（x+2）（ax+1）=0，解得x=-1或x=-

1

a

．由此利用分类讨论思想和导数性质能求出f（x）的单调性．
（2）利用分类讨论思想和导数性质能求出a的值．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（x+2）（ax+1）=0，
解得x=-1或x=-

1

a

．
若a＜0，由f′（x）＞0，得-2＜x＜-

1

a

，（-2，-

1

a

）是增区间；
由f′（x）＜0，得x＜-2或x＞-

1

a

，（-∞-2），（-

1

a

，+∞）是减区间；
若a=0，由f′（x）＞0，得x＞-2，（-2，∞）是增区间；
由f′（x）＜0，得x＜-2，（-∞-2）是减区间；
若0＜a＜

1

2

，由f′（x）＞0，得x＜-

1

a

或x＞-2，（-∞，-

1

a

），（-2，+∞）是增区间；
由f′（x）＜0，得-

1

a

＜x＜-2，（-

1

a

，-2）是减区间；
若a=

1

2

，则f′（x）＞0，（-∞，+∞）是增区间．
若a＞

1

2

，由f′（x）＞0，得x＜-2，或x＞-

1

a

，（-∞，-2），（-

1

a

，+∞）是增区间；
由f′（x）＜0，得-2＜x＜-

1

a

，（-2，-

1

a

）是减区间．
（2）若-

1

a

＜0⇒a＞0，f（x）在（0，1）单调递增，
f(x)max=f(1)=e(a+2)=

3

2

e⇒a=-

1

2

，舍去；
若0＜-

1

a

＜1⇒a＜-1，f（x）在（0，-

1

a

）单调递增，在（-

1

a

，1）单调递减，f(x)max=f(-

1

a

)=e-

1

a

＜e1舍去；
若-

1

a

＞1⇒-1＜a＜0，f（x）在（0，1）单调递增，
f(x)max=f(1)=e(a+2)=

3

2

e⇒a=-

1

2

若a=0，f（x）在（0，1）单调递增，f（x）_max=f（1）=2e，舍去
若a=-1，f（x）在（0，1）单调递，f（x）_max=f（1）=e，舍去
综上所述a=-

1

2

．

点评：本题考查函数的单调性的讨论，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．