Question

设函数f（x）=3cos（2x+

π

3

），g（x）=

1

3

f（x）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在△ABC中，B为锐角，g（

B

2

）=-

1

4

，

m

=（1，1-2cosA），

n

=（1，cosA），且

m

∥

n

，求sinC．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,平行向量与共线向量,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的图象和性质，即可求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在△ABC中，B为锐角，g（

B

2

）=-

1

4

，代入求解B，根据

m

∥

n

，求出cosA，利用两角和的正弦公式即可求sinC．

解答： 解：（1）∵f（x）=3cos（2x+

π

3

），
∴函数的周期T=

2π

2

=π，当cos（2x+

π

3

）=1时，函数取得最大值此时f（x）=3，
即函数f（x）的最小正周期为π和最大值3；
（2）g（x）=

1

3

f（x）+sin²x=g（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x=cos2xcos

π

3

-sinx2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x，
在△ABC中，B为锐角，g（

B

2

）=

1

2

-

3

2

sinB=-

1

4

，即sinB=

3

2

，
∴B=

π

3

，
∵

m

=（1，1-2cosA），

n

=（1，cosA），且

m

∥

n

，
∴1-2cosA=cosA，即cosA=

1

3

，sinA=

2 3

3

则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2 3

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

3

2

．

点评：本题主要考查了三角函数的最值以及最小正周期的求法以及两角和差的三角函数公式，要求熟练掌握相应的公式是解决本题的关键．．