Question

已知函数f（x）=m•6^x-4^x，m∈R．
（1）当m=

4

15

时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；
（2）若f（x）≤9^x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当m=

4

15

时，f（x+1）＞f（x）即可化简得，（

2

3

）^x＜

4

9

，由单调性即可得到；
（2）f（x）≤9^x对任意的x∈R恒成立即m≤

9x+4x

6x

=（

2

3

）^-x+（

2

3

）^x对任意的x∈R恒成立，运用基本不等式即可得到最小值，令m不大于最小值即可．

解答： 解：（1）当m=

4

15

时，f（x+1）＞f（x）
即为

4

15

•6^x+1-4^x+1＞

4

15

•6^x-4^x，
化简得，（

2

3

）^x＜

4

9

，
解得x＞2．
则满足条件的x的范围是（2，+∞）；
（2）f（x）≤9^x对任意的x∈R恒成立即为m•6^x-4^x≤9^x，
即m≤

9x+4x

6x

=（

2

3

）^-x+（

2

3

）^x对任意的x∈R恒成立，
由于（

2

3

）^-x+（

2

3

）^x≥2，当且仅当x=0取最小值2．
则m≤2．
故实数m的范围是（-∞，2]．

点评：本题考查指数不等式的解法，以及指数函数的单调性及运用，考查不等式的恒成立问题，运用分离参数的方法和基本不等式求最值，属于中档题．