题目内容

20．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，若$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$  与$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为60°，则实数λ的值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

分析 根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．

解答 解：$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，
∴|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0；
又$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$  与$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为60°，
∴（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$|×|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$|×cos60°，
即$\sqrt{3}$${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+（$\sqrt{3}λ$-1）$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$-λ${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=$\sqrt{{3\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}{+\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$×$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+2λ\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}{{+λ}^{2}\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$×$\frac{1}{2}$，
化简得$\sqrt{3}$-λ=$\sqrt{3+1}$×$\sqrt{1{+λ}^{2}}$×$\frac{1}{2}$，
即$\sqrt{3}$-λ=$\sqrt{1{+λ}^{2}}$，
解得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．

练习册系列答案
相关题目
6．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）
A．$\frac{\sqrt{3}}{2}$B．$\frac{\sqrt{15}}{5}$C．$\frac{\sqrt{10}}{5}$D．$\frac{\sqrt{3}}{3}$
11．如图，已知正四面体D-ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，$\frac{BQ}{QC}$=$\frac{CR}{RA}$=2，分别记二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角为α、β、γ，则（　　）
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α
8．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
 箱产量＜50kg                  箱产量≥50kg
旧养殖法           
新养殖法             
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
P（K2≥k）   0.0500.010           0.001            
k3.841      6.635     10.828    
K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
15．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+$\frac{1}{b}$＜$\frac{b}{{2}^{a}}$＜log2（a+b））B．$\frac{b}{{2}^{a}}$＜log2（a+b）＜a+$\frac{1}{b}$
C．a+$\frac{1}{b}$＜log2（a+b）＜$\frac{b}{{2}^{a}}$D．log2（a+b））＜a+$\frac{1}{b}$＜$\frac{b}{{2}^{a}}$
5．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．
12．设θ∈R，则“|θ-$\frac{π}{12}$|＜$\frac{π}{12}$”是“sinθ＜$\frac{1}{2}$”的（　　）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（　　）
A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}
8．已知a，b，c∈R+，ab+bc+ca=1，求证：
（Ⅰ）a2+b2+c2≥1；
（Ⅱ）$a+b+c≥\sqrt{3}$．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网