Question

11．如图，已知正四面体D-ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，$\frac{BQ}{QC}$=$\frac{CR}{RA}$=2，分别记二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角为α、β、γ，则（　　）

• A． γ＜α＜β
• B． α＜γ＜β
• C． α＜β＜γ
• D． β＜γ＜α

Answer 1

分析 解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，-3，0），C（0，-6，0），D（0，0，6$\sqrt{2}$），Q$（\sqrt{3}，2，0）$，R$（-2\sqrt{3}，0，0）$，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．
解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．．可得tanα=$\frac{OD}{OE}$．tanβ=$\frac{OD}{OF}$，tanγ=$\frac{OD}{OG}$．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．

解答 解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．
不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，-3，0），C（0，-6，0），D（0，0，6$\sqrt{2}$），
Q$（\sqrt{3}，2，0）$，R$（-2\sqrt{3}，0，0）$，
$\overrightarrow{PR}$=$（-2\sqrt{3}，3，0）$，$\overrightarrow{PD}$=（0，3，6$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PQ}$=（$\sqrt{3}$，5，0），$\overrightarrow{QR}$=$（-3\sqrt{3}，-2，0）$，
$\overrightarrow{QD}$=$（-\sqrt{3}，-2，6\sqrt{2}）$．
设平面PDR的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PR}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{3}x+3y=0}\\{3y+6\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
可得$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{6}，2\sqrt{2}，-1）$，取平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
则cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{15}}$，取α=arccos$\frac{1}{\sqrt{15}}$．
同理可得：β=arccos$\frac{3}{\sqrt{681}}$．γ=arccos$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{95}}$．
∵$\frac{1}{\sqrt{15}}$＞$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{95}}$＞$\frac{3}{\sqrt{681}}$．
∴α＜γ＜β．
解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．
设OD=h．
则tanα=$\frac{OD}{OE}$．
同理可得：tanβ=$\frac{OD}{OF}$，tanγ=$\frac{OD}{OG}$．
由已知可得：OE＞OG＞OF．
∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．
∴α＜γ＜β．
故选：B．

点评 本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．