Question

6．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC₁=1，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 【解法一】设M、N、P分别为AB，BB₁和B₁C₁的中点，得出AB₁、BC₁夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．
【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．

解答 解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB₁和B₁C₁的中点，
则AB₁、BC₁夹角为MN和NP夹角或其补角
（因异面直线所成角为（0，$\frac{π}{2}$]），
可知MN=$\frac{1}{2}$AB₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
NP=$\frac{1}{2}$BC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；
∵PQ=1，MQ=$\frac{1}{2}$AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=4+1-2×2×1×（-$\frac{1}{2}$）
=7，
∴AC=$\sqrt{7}$，
∴MQ=$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
在△MQP中，MP=$\sqrt{{MQ}^{2}{+PQ}^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP=$\frac{{MN}^{2}{+NP}^{2}{-PM}^{2}}{2•MH•NP}$=$\frac{{（\frac{\sqrt{5}}{2}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}{-（\frac{\sqrt{11}}{2}）}^{2}}{2×\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
又异面直线所成角的范围是（0，$\frac{π}{2}$]，
∴AB₁与BC₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
【解法二】如图所示，
补成四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，求∠BC₁D即可；
BC₁=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
C₁D=$\sqrt{5}$，
∴${{BC}_{1}}^{2}$+BD²=${{C}_{1}D}^{2}$，
∴∠DBC₁=90°，
∴cos∠BC₁D=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．