题目内容
8．已知a，b，c∈R+，ab+bc+ca=1，求证：（Ⅰ）a2+b2+c2≥1；
（Ⅱ）$a+b+c≥\sqrt{3}$．
分析 （I）根据基本不等式即可得出结论；
（II）使用分析法，结合（I）的结论即可得出证明．
解答 证明：（Ⅰ）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，
∴2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ca，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca=1，
∴a2+b2+c2≥1．
（Ⅱ）要证$a+b+c≥\sqrt{3}$，
需证${（a+b+c）^2}≥{（\sqrt{3}）^2}$，
即证a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3，
需证a2+b2+c2≥1，
∵由（Ⅰ）知a2+b2+c2≥1成立，
∴$a+b+c≥\sqrt{3}$．
点评 本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．
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