Question

设数列{a_n}的前n项的和S_n与a_n的关系是S_n=-a_n+1-

1

2n

，n∈N^*．
（1）求证：数列{2ⁿa_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出2nan-2n-1an-1=

1

2

，由此能求出an=

n

2n+1

．
（2）由（1）得Sn=1-

n+2

2n+1

，从而得到T_n=n-（

3

22

+

4

23

+…+

n+2

2n+1

），由此利用错位相减法能求出数列{S_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，s1=-a1+1-

1

2

⇒a1=

1

4

…（1分），
n≥2时，由Sn-Sn-1=-an+an-1+

1

2n

，
得2nan-2n-1an-1=

1

2

，
∴数列{2ⁿa_n}为等差数列，…（3分）
∴2nan=2×a1+(n-1)×

1

2

，an=

n

2n+1

．…（6分）
（2）由（1）得Sn=1-

n+2

2n+1

，
∴T_n=n-（

3

22

+

4

23

+…+

n+2

2n+1

），①

1

2

Tn=

1

2

n-（

3

23

+

4

24

+…+

n+2

2n+2

），②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

n-（

3

4

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+2

2n+2

）
=

1

2

n-

3

4

-

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

+

n+2

2n+2

=

1

2

n-1+

1

2n+1

+

2n+4

2n+1

．…（9分）
∴T_n=n-2+

2n+5

2n

．…（12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．