Question

据民生所望，相关部门对所属单位进行整治性核查，标准如下表：

查验类别	甲	乙
所含指标项	4	2
每项初查合格率	2 3	1 2
每项复查合格率	1 2	1 2
每项核查合格权重分数	2	1
每项核查不合格权重分数	0	0

规定初查累计权重分数为10分或9分的不需要复查并给予奖励，10分的奖励18万元；9分的奖励8万元；初查累计权重分数为7分及其以下的停下运营并罚款1万元；初查累计权重分数为8分的要对不合格指标进行复查，最终累计权重得分等于初查合格部分与复查部分得分的和，最终累计权重分数为10分方可继续运营，否则停业运营并罚款1万元．
（1）求一家单位既没获奖励又没被罚款的概率；
（2）求一家单位在这次整治性核查中所获金额X（万元）的分布列和数学期望（奖励为正数，罚款为负数）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：应用题,概率与统计

分析：只有得8分的情况既没有奖励又没有罚款，但是得8分时需要复查不合格指标项，所以符合题意的情况有：①甲的4个指标项合格，乙的2个指标项不合格，并对乙的2个指标项进行复查，②甲的4个指标项有3个合格，1个不合格，乙的2个指标项合格并对甲中不合格的1个指标项进行复查；第二问，通过已知条件得出，X有4种情况，列出概率表达式，列出分布列，利用期望的计算公式求数学期望．

解答： 解：记“初查阶段甲类的一个指标项合格”为事件A，“初查阶段乙类的一个指标项合格”为事件B，“复查阶段一个指标项合格”为事件C，则P（A）=

2

3

，P（B）=P（C）=

1

2

． （Ⅰ）记“一家单位既没获奖励又没被罚款”为事件D，则
P（D）=[P（A）]⁴[P（

.

B

）]²[P（C）]²+

C

3 4

[P（A）]³[P（B）]²[P（C）]=

5

81

（Ⅱ）X的可能取值为-1，0，8，18．
P（X=18）=[P（A）]⁴[P（B）]²=

4

81

，
P（X=8）=[P（A）]⁴

C

1 2

[P（B）][P（

.

B

）]=

8

81

，
P（X=0）=P（1）=

5

81

，
P（X=-1）=1-P（X=18）-P（X=8）-P（X=0）=

64

81

．
X的分布列为

X	-1	0	8	18
P	64 81	5 81	8 81	4 81

X的数学期望EX=-1×

64

81

+0×

5

81

+8×

8

81

+18×

4

81

=

8

9

（万元）．

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，考查计算能力