Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求

PM

•

PN

的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）过点F且斜率为1的直线代入抛物线，利用|MN|=8，可得x₁+x₂+p=8，即可求抛物线C的方程；
（2）设l方程为y=x+b，代入y²=4x，利用直线l为抛物线C的切线，求出b，再利用向量的数量积公式求

PM

•

PN

，利用配方法可求最小值．

解答： 解：（1）由题可知F(

p

2

，0)，则该直线方程为：y=x-

p

2

，…（1分）
代入y²=2px（p＞0）得：x2-3px+

p2

4

=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x₁+x₂=3p…（3分）
∵|MN|=8，∴x₁+x₂+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴抛物线的方程为：y²=4x．…（5分）
（2）设l方程为y=x+b，代入y²=4x，得x²+（2b-4）x+b²=0，
∵l为抛物线C的切线，∴△=0，
解得b=1，∴l：y=x+1…（7分）
由（1）可知：x₁+x₂=6，x₁x₂=1
设P（m，m+1），则

PM

=(x1-m，y1-(m+1))，

PN

=(x2-m，y2-(m+1))
∴

PM

•

PN

=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)]
=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2
∵x₁+x₂=6，x₁x₂=1，(y1y2)2=16x1x2=16，y₁y₂=-4，y12-y22=4(x1-x2)，
∴y1+y2=4

x1-x2

y1-y2

=4，
∴

PM

•

PN

=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2…（10分）
=2[m²-4m-3]=2[（m-2）²-7]≥-14
当且仅当m=2时，即点P的坐标为（2，3）时，

PM

•

PN

的最小值为-14．…（12分）

点评：本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，韦达定理的运用，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．