Question

在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b²+c²=bc+a²．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知等差数列{a_n}的公差不为零，若a₁cosA=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列，求{

4

anan+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质,余弦定理

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，所以cosA=

1

2

，由此能求出A=

π

3

．
（Ⅱ）由已知条件推导出（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+7d），且d≠0，由此能求出a_n=2n，从而得以

4

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，进而能求出{

4

anan+1

}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵b²+c²-a²=bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

．
（Ⅱ）设{a_n}的公差为d，
∵a₁cosA=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴a₁=

1

cosA

=2，且a42=a₂•a₈，
∴（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+7d），且d≠0，解得d=2，
∴a_n=2n，
∴

4

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．