Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n²-na_n+λ（n∈N^*，λ∈R）．
（Ⅰ）对?n∈N^*，a_n≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2；
（Ⅱ）若λ=-2，证明：

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性，即可得到证明对?n∈N^*，a_n≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2；
（Ⅱ）根据数列的通项公式，利用放缩法，即可证明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）先证明必要性：由题意知?n∈N^*，a_n≥2n恒成立，
则当n=2时，a₂=6+λ≥2×2，得出λ≥-2，成立．
充分性：当n=2时，显然成立，
假设当n=k，（k≥2）时，a_k≥2k成立，
则当n=k+1时，a_k+1=a_k²-ka_k+λ=a_k（a_k-k）+λ≥2k²-2=2（k+1）（k-1）≥2（k+1），
故对所有的n≥2，有a_n≥2n恒成立，
故a_n≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2．
（Ⅱ）当λ=-2．时，a_n≥2n，
即a_n+1-2=a_n²-na_n-4=a_n（a_n-n）-4≥na_n-4≥2（a_n-2）＞0，（n≥2），
则

1

an-2

≤

1

2

×

1

an-1-2

≤…≤

1

2n-2

×

1

a2-2

=

1

2n-1

，（n≥3）

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-

1

2n-1

＜2．
即不等式成立．

点评：本题主要考查充要条件的证明，以及数学归纳法的应用，综合性较强，运算量较大．