题目内容
已知直线l与函数y=x2的图象交于A，B两点，且线段AB与函数y=x2的图象围成的图形面积为
，则线段AB的中点P的轨迹方程为 ．
| 4 |
| 3 |
考点：轨迹方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设出直线l的方程和A，B，P的坐标，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数关系得到A，B横坐标的和与积，再利用积分求面积得到(x2-x1)2=4．然后结合中点坐标公式及点A，B在抛物线上求得线段AB的中点P的轨迹方程．
解答：
解：设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
则x=
，y=
①
联立
，得：x2-kx-m=0．
则△=k2+4m＞0，且x1+x2=k，x1x2=-m ②
不妨设x1＜x2，
由题意得：
(kx+m-x2)dx=
，
即(x2-x1)[
(x1+x2)+m-
]=
③
将②代入③化简得：(x2-x1)3=8，即(x2-x1)2=4．
∴(x1+x2)2-4x1x2=4 ④
又∵y1=x12，y2=x22，
∴y=
=
=
=2+x1x2，
故x1x2=y-2，
而x1+x2=2x，代入④得y=x2+1．
故答案为：y=x2+1．
则x=
| x1+x2 |
| 2 |
| y1+y2 |
| 2 |
联立
|
则△=k2+4m＞0，且x1+x2=k，x1x2=-m ②
不妨设x1＜x2，
由题意得：
| ∫ | x2 x1 |
| 4 |
| 3 |
即(x2-x1)[
| k |
| 2 |
| x12+x1x2+x22 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
将②代入③化简得：(x2-x1)3=8，即(x2-x1)2=4．
∴(x1+x2)2-4x1x2=4 ④
又∵y1=x12，y2=x22，
∴y=
| y1+y2 |
| 2 |
| x12+x22 |
| 2 |
| 4+2x1x2 |
| 2 |
故x1x2=y-2，
而x1+x2=2x，代入④得y=x2+1．
故答案为：y=x2+1．
点评：本题考查轨迹方程，解答的关键在于灵活运用线段AB与抛物线所围成图形的面积，考查了定积分，体现了整体运算思想方法，考查学生的灵活变形和计算能力，是压轴题．
练习册系列答案
相关题目
已知共焦点F1，F2的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是P，若
•
=0，椭圆的离心率e1与双曲线的离心率e2的关系式为（ ）
| F1P |
| F2P |
A、
| ||||
B、
| ||||
| C、e12+e22=2 | ||||
| D、e22-e12=2 |
设复数z=2+ai（a∈R，i是虚数单位），则
（
是z的共轭复数）是纯虚数的一个充分不必要条件是（ ）
| ||
| z |
. |
| z |
| A、a=2 | ||
| B、a=±2 | ||
C、a=
| ||
D、a=±
|
下列函数中，既是奇函数，在其定义域内又是单调函数的为（ ）
| A、y=x-1 |
| B、y=2x |
| C、y=log2x |
| D、y=lg2x |