Question

已知函数f（x）=

1

x+1

+log₃

2-x

x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）x取何值时，f[x（x-

1

2

）]＞

1

2

？

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）的解析式可得

x+1≠0 2-x x ＞0

，由此求得函数的定义域．
（2）函数f（x）是定义域内的减函数．设0＜x₁＜x₂＜2，则f（x₁）-f（x₂）=

x2-x1

x1•x2

+log₃（

x2

x1

）+log3

2-x1

2-x2

＞0，可得函数在其定义域内是减函数．
（3）由于f（1）=

1

2

，f（x）是定义域内的减函数，故由f[x（x-

1

2

）]＞

1

2

，可得 0＜x（x-

1

2

）＜1，由此求得x的范围．

解答： 解：（1）由函数f（x）=

1

x+1

+log₃

2-x

x

，可得

x+1≠0 2-x x ＞0

，即

x≠-1 0＜x＜2

，∴0＜x＜2，故函数的定义域为（0，2）．
（2）函数f（x）=

1

x+1

+log₃

2-x

x

=

1

x+1

+log₃（

2

x

-1）是定义域内的减函数，
证明：设0＜x₁＜x₂＜2，则f（x₁）-f（x₂）=

1

x1+1

+log3

2-x1

x1

-（

1

x2+1

+log3

2-x2

x2

）=

x2-x1

x1•x2

+log₃（

x2

x1

•

2-x1

2-x2

）=

x2-x1

x1•x2

+log₃（

x2

x1

）+log3

2-x1

2-x2

．
由题设可得，

x2-x1

x1•x2

＞0，log₃（

x2

x1

）＞0，

2-x1

2-x2

＞1，∴log3

2-x1

2-x2

＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，故函数在其定义域内是减函数．
（3）由于f（1）=

1

2

，f（x）是定义域内的减函数，故由f[x（x-

1

2

）]＞

1

2

，可得 0＜x（x-

1

2

）＜1，即

x(x- 1 2 )＞0 x(x- 1 2 )＜1

．
求得

1- 17

4

＜x＜0，或

1

2

＜x＜

1+ 17

4

，故当

1- 17

4

＜x＜0，或

1

2

＜x＜

1+ 17

4

 时，f[x（x-

1

2

）]＞

1

2

．

点评：本题主要考查对数函数的定义域、单调性和特殊点，对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．