Question

已知f（x）为二次函数，且f（-1）=2，f′（0）=0，

∫

1 0

f（x）dx=-2
（1）求f（x）的解析式
（2）求f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）先利用待定系数法设出二次函数，根据条件建立三个方程，求出参数即可．
（2）对称轴为x=0，x∈[-1，1]，故在对称轴处取最小值，在±1处取最大值．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
则f′（x）=2ax+b．
由f（-1）=2，f′（0）=0，得a-b+c=2，b=0，
∴c=2-a，b=0，
∴f（x）=ax²+（2-a）．
又

∫

1 0

f（x）dx=

∫

1 0

[ax²+（2-a）]dx
=[

1

3

ax³+（2-a）x]|₀¹=2-

2

3

a=-2，
∴a=6，∴c=-4．
从而f（x）=6x²-4．
（2）∵f（x）=6x²-4，x∈[-1，1]，
∴当x=0时，f（x）_min=-4；当x=±1时，f（x）_max=2．

点评：本题主要考查了定积分，以及函数的最值，属于中档题．