题目内容
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积为36π，则该长方体的表面积的最大值为 ．
考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
专题：空间位置关系与距离
分析：设长方体ABCD-A1B1C1D1的长宽高分别为x，y，z，根据外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为36π，得到x2+y2+z2=36，进而根据基本不等式得到长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积S=2xy+2yz+2zx≤72．
解答：
解：设长方体ABCD-A1B1C1D1的长宽高分别为x，y，z，
∵外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为36π，
∴
πR3=36π，
∴R=3，
∴长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径为6，
则有x2+y2+z2=36，
则长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积S=2xy+2yz+2zx≤x2+y2+z2+x2+y2+z2=72，
则长方体的表面积的最大值为72，
故答案为：72．
∵外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为36π，
∴
| 4 |
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∴R=3，
∴长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径为6，
则有x2+y2+z2=36，
则长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积S=2xy+2yz+2zx≤x2+y2+z2+x2+y2+z2=72，
则长方体的表面积的最大值为72，
故答案为：72．
点评：本题考查的知识点是长方体的表面积，长方体的外接球，球的体积公式，基本不等式，难度中档．
练习册系列答案
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| A、5 | ||
| B、10 | ||
C、
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D、
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