Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+b²=c²+

3

ab．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求

3

a-b的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出角C的值；
（Ⅱ）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，根据三角形ABC为锐角三角形，求出A的范围，再由c与sinC的值，利用正弦定理表示出a与b，代入所求式子中化简，利用正弦函数的值域即可确定出范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a²+b²=c²+

3

ab，即a²+b²-c²=

3

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

π

6

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A+B=

5π

6

，即B=

5π

6

-A，
又△ABC为锐角三角形，
∴

0＜ 5π 6 -A＜ π 2 0＜A＜ π 2

，
解得：

π

3

＜A＜

π

2

，
∵c=1，sinC=

1

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

1 2

=2，即a=2sinA，b=2sinB，
∴

3

a-b=2

3

sinA-2sinB=2

3

sinA-2sin（

π

6

+A）=2

3

sinA-cosA-

3

sinA=

3

sinA-cosA=2sin（A-

π

6

）
∵

π

3

＜A＜

π

2

，∴

π

6

＜A-

π

6

＜

π

3

，
∴

1

2

＜sin（A-

π

6

）＜

3

2

，
则

3

a-b∈（1，

3

）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．