Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA中点．
（1）求证：直线BD⊥平面OAC；
（2）求直线MD与平面OAC所成角的大小；
（3）求点A到平面OBD的距离．

Answer 1

考点：用空间向量求直线与平面的夹角,直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：方法一：（1）建立空间直角坐标系，通过向量的数量积为0，判断直线与平面垂直．
（2）求出平面的法向量，即可求出直线与平面所成的二面角的大小．
（3）利用向量在平面是的法向量上的投影即可求出点到平面的距离．
方法二：（1）直接证明直线BD垂直平面内的两条相交直线即可利用判定定理证明结果．
（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角，通过解三角形求解即可．
（3）作AH⊥OE于点H．说明线段AH的长就是点A到平面OBD的距离，利用三角形相似求解即可．

解答： 解：方法一：以A为原点，AB，AD，AO分别x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A-xyz．
（1）∵

BD

=（-1，1，0），

AO

=（0，0，2），

AC

=（1，1，0）
∴

BD

•

AO

=0，

BD

•

AC

=-1+1=0
∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC=A
故BD⊥平面OAC                                     …（4分）
（2）取平面OAC的法向量

n1

=

BD

=（-1，1，0），又

MD

=（0，1，-1）
则：cos＜

n1

，

MD

＞=

1

2 • 2

=

1

2

∴＜

n1

，

MD

＞=60°
故：MD与平面OAC所成角为30°                  …（8分）
（3）设平面OBD的法向量为

n2

=（x，y，z），则

n2 • BD =0⇒-x+y=0 n2 • OB =0⇒x-2z=0

取

n2

=（2，2，1）
则点A到平面OBD的距离为d=

| AB • n2 |

| n2 |

=

2

3

…（12分）
方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD．
∵底面ABCD是边长为1的正方形
∴BD⊥AC，又AC∩OA=A，∴BD⊥平面OAC                            …（4分）
（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角
∵MD=

2

，DE=

2

2

∴直线MD与平面OAC折成的角为30°                   …（8分）
（3）作AH⊥OE于点H．
∵BD⊥平面OAC
∴BO⊥AH
线段AH的长就是点A到平面OBD的距离．
∴AH=

OA•AE

OE

=

2• 2 2

3 2 2

=

2

3

∴点A到平面OBD的距离为

2

3

…（12分）

点评：本题考查点到平面的距离，直线与平面设出角的求法直线与平面的垂直的判断与证明，考查空间想象能力以及计算能力．