Question

已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，

OA

=（-2，m），

OB

=（n，1），

OC

=（5，-1），且

OA

⊥

OB

，其中O为坐标原点．
（1）求实数m，n的值；
（2）设△OAC的重心为G，若存在实数λ，使

OB

=λ

OG

，试求∠AOC的大小．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）由已知向量的坐标求出

AC

，

AB

的坐标，由

AC

∥

AB

列关于m，n的方程组，再由

OA

⊥

OB

得到关于m，n的另一方程组，联立后求得m，n的值；
（2）由△OAC的重心为G，结合

OB

=λ

OG

可知B为AC的中点，由中点坐标结合（1）中的结果得到m，n的值，得到

OA

，

OC

的坐标，然后代入平面向量的数量积公式求得∠AOC的大小．

解答： 解：（1）由于A、B、C三点在一条直线上，则

AC

∥

AB

，
而

AC

=

OC

-

OA

=(7，-1-m)，

AB

=

OB

-

OA

=(n+2，1-m)，
∴7（1-m）-（-1-m）（n+2）=0，即9-5m+mn+n=0，
又

OA

⊥

OB

，∴-2n+m=0，
联立方程组

9-5m+mn+n=0 -2n+m=0

，解得

m=6 n=3

或

m=3 n= 3 2

；
（2）若存在实数λ，使

OB

=λ

OG

，则B为AC的中点，故m=3，n=

3

2

．
∴

OA

=(-2，3)，

OC

=(5，-1)．
∴cos∠AOC=

OA • OC

| OA |•| OC |

=

-13

13 • 26

=-

2

2

，
∴∠AOC=

3π

4

．

点评：本题考查了向量共线和向量垂直的坐标运算，考查了利用数量积公式求向量的夹角，解答此题的关键是由△OAC的重心为G，且

OB

=λ

OG

得到B为AC的中点，是中档题．