Question

已知{a_n}是首项为1的递增等差数列且a₂²=S₃．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足bn=

2

anan+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和，若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8×（-1）ⁿ恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出递增等差数数列的公差，结合已知求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的通项公式代入bn=

2

anan+1

，利用裂项相消法求得T_n，再代入λT_n＜n+8×（-1）ⁿ分离λ，求出关于n的函数的最小值，则λ的范围可求．

解答： 解：（1）∵递增等差数列中，a₁=1，
设公差为d（d＞0），由a₂²=S₃，得
（1+d）²=3+3d，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由bn=

2

anan+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．
不等式λT_n＜n+8×（-1）ⁿ恒成立，
等价于λ＜

2n+1

2n

[n+8×(-1)n]=

2n+1

2

+

8n+4

n

•(-1)n=n+

4

n

(-1)n+

1

2

+8•(-1)n对任意的n∈N^*恒成立，
当n=1时，n+

4

n

(-1)n+

1

2

+8•(-1)n有最小值为-

21

2

．
∴λ＜-

21

2

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．