Question

以椭圆C₁：

x2

12

+

y2

3

=1的焦点为焦点的椭圆C₂经过直线L：x-y-1=0上的一点M，当M到两焦点距离之差的绝对值最大时，则椭圆C₂的标准方程是什么？

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：探究型,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆C₁得出焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0）求出c=3，F₂（3，0）关直线L：x-y-1=0对称点F′₂（x₀，y₀），根据点M是直线F₁F′₂与直线l的交点，满足当M到两焦点距离之差的绝对值最大时，从而求出M点坐标，即可求解椭圆C₂的标准方程．

解答： 解：∵椭圆C₁：

x2

12

+

y2

3

=1的焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），
椭圆C₂的焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0）
∴椭圆C₂的标准方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1，c=3，
∵F₂（3，0）关直线L：x-y-1=0对称点F′₂（x₀，y₀），
∴

x0+3 2 - y0 2 =1 y0-0 x0-3 =-1

解得x₀=1，y₀=2，
点F′₂（1，2），
∴直线F₁F′₂的方程为y=

1

2

x+

3

2

，
∵椭圆C₂经过直线L：x-y-1=0上的一点M，当M到两焦点距离之差的绝对值最大时，
∴点M是直线F₁F′₂与直线l的交点，
∴

y=x-1 y= 1 2 x+ 3 2

得出M（5，4），
∵椭圆C₂经过M（5，4），
∴MF₁=4

5

，MF₂=2

5

，
∴2a=6

5

，a=3

5

，a²=45，b²=45-9=36，
故椭圆C₂的标准方程为：

x2

45

+

y2

36

=1，

点评：本题考查了点的对称性，与求解椭圆的方程的运用，关键是运用几何性质确定M点的位置，属于难题．