Question

各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0．由a_n＞0，得数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，由此能求出a_n=

n+1

2

．
（2）由b_n=

an

2n

=

n+1

2n+1

，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵2S_n=2a_n²+a_n-1，∴2S_n+1=2a_n+1²+a_n+1-1，
两式相减得：2a_n+1=2（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）+（a_n+1-an），
即（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0．
∵a_n＞0，∴2a_n+1-2a_n-1=0，∴a_n+1-a_n=

1

2

．
∴数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，
∴a_n=

n+1

2

．
（2）∵b_n=

an

2n

=

n+1

2n+1

，
∴T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

，①

1

2

T_n=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n+1

2n+2

，②
①-②得

1

2

T_n=

1

2

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

，
∴T_n=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．