Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且b_n=

Sn

n+c

，求非零常数c；
（3）在（2）的条件下，设c_n=a_n²-λb_n，已知数列{c_n}为递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知结合等差数列的性质列式求出a₃，a₄的值，进一步求出等差数列的首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）由数列{b_n}是等差数列，得到b₁+b₃=2b₂，结合b_n=

Sn

n+c

求得c的值；
（3）由c_n=a_n²-λb_n且数列{c_n}为递增数列，得c_n+1-c_n＞0，整理后分离变量λ，得到λ＜16n-4，则实数λ的取值范围可求．

解答： 解：（1）由

a3•a4=117 a2+a5=22

，得

a3•a4=117 a3+a4=22

，
解得

a3=9 a4=13

，或

a4=9 a3=13

．
∵等差数列{a_n}的公差大于零，
∴

a3=9 a4=13

．
由

a3=a1+2d=9 a4=a1+3d=13

，解得

d=4 a1=1

．
∴a_n=4n-3；
（2）由（1）得：Sn=

n(a1+an)

2

=2n2-n，
∴bn=

2n2-n

n+c

，
由b₁，b₂，b₃成等差数列得：b₁+b₃=2b₂，
∴

12

c+2

=

1

c+1

+

15

c+3

，解得：c=0或c=-

1

2

．
∴c=-

1

2

．
（3）c_n=16n²-（2λ+24）n+9，
由{c_n}为递增数列，得c_n+1-c_n＞0，
得16（2n+1）-2λ-24＞0，
分离参数得λ＜16n-4，
又∵16n-4在n=1时取得最小值12，
∴λ＜12．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，训练了分离变量法，是中档题．