Question

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₄的值为（　　）

• A、

  2014

  2015

• B、

  2013

  2014

• C、

  2012

  2013

• D、

  2011

  2012

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,数列的求和

专题：导数的综合应用

分析：因为的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，所以利用导函数的几何含义可以求出b=1，然后利用裂项法进行求和即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
由f（x）=x²-bx求导得：f′（x）=2x-b，
由导函数得几何含义得：f′（1）=2-b=3⇒b=-1，
∴f（x）=x²+x
则f（n）=n（n+1），∴数列{

1

f(n)

}的通项为 

1

f(n)

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
则数列的前n项的和即为S_n，
则利用裂项相消法可以得到：
S₂₀₁₄=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

，
故选：A

点评：此题考查了导函数的几何含义及方程的思想，还考查了利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法