Question

2．已知数列{a_n} 的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{3{{（{b_n}+2）}^n}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式，再求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{c_n}的通项，利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和${S_n}=3{n^2}+8n$，
∴a₁=11．
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=3{n^2}+8n-3{（n-1）^2}-8（n-1）=6n+5$．
又∵a_n=6n+5对n=1也成立所以a_n=6n+5，{b_n}是等差数列，设公差为d，则a_n=b_n+b_n+1=2b_n+d．
当n=1时，2b₁=11-d；当n=2时，2b₂=17-d
由$\left\{\begin{array}{l}2{b_1}=11-d\\ 2{b_2}=17-d\end{array}\right.$，
解得d=3，
所以数列{b_n}的通项公式为${b_n}=\frac{{{a_n}-d}}{2}=3n+1$；
（Ⅱ）由${c_n}=\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{3{{（{b_n}+2）}^n}}}=\frac{{{{（6n+6）}^{n+1}}}}{{3{{（3n+3）}^n}}}=（n+1）•{2^{n+1}}$，
于是，${T_n}=2•{2^2}+3•{2^3}+4•{2^4}+…+（n+1）•{2^{n+1}}$，
两边同乘以2，得$2{T_n}=2•{2^3}+3•{2^4}+…+n•{2^{n+1}}+（n+1）•{2^{n+2}}$．
两式相减，得$-{T_n}=8-（n+1）•{2^{n+2}}+（{{2^3}+{2^4}+…+{2^{n+1}}}）$=$8-（n+1）•{2^{n+2}}+\frac{{8（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}$=-n•2ⁿ⁺²．
所以，${T_n}=n•{2^{n+2}}$．

点评 本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．