Question

11．在△ABC中，|${\overrightarrow{BA}}$|=1，|${\overrightarrow{AC}}$|=2，且$\overrightarrow{BA}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，则BC边上的中线AD的长为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得BC，再由勾股定理可判∠B=$\frac{π}{2}$，再由勾股定理可求AD．

解答 解：在△ABC中，|${\overrightarrow{BA}}$|=1，|${\overrightarrow{AC}}$|=2，且$\overrightarrow{BA}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，则∠A=$\frac{π}{3}$，
如图，BC的中点为D，
由余弦定理可得BC²=1²+2²-2×1×2×cos$\frac{π}{3}$=3，
解得BC=$\sqrt{3}$，∴AC²=AB²+BC²，△ABC为直角三角形，
∠B=$\frac{π}{2}$，在RT△ABD中，由勾股定理可得
AD²=AB²+BD²=1²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{7}{4}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$
故答案为：$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和勾股定理得应用，注意向量夹角与三角形内角的关系，属中档题．