Question

12．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x．
（1）画出f（x）的简图，并求f（x）的解析式；
（2）利用图象讨论方程f（x）=k的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）．

Answer 1

分析 （1）根据y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x．求出f（x）的解析式．作图．
（2）根据函数图象与函数y=k的交点，即可判断根的情况．

解答 解：（1）由题意：函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），当x=0时，有f（0）=0．
当x＞0时，f（x）=x²-2x，
当x＜0时，则-x＞0，
那么：f（-x）=x²+2x，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-x²-2x
f（x）是定义在R上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{-{x}^{2}-2x，（x＜0）}\end{array}\right.$
（简图（如右图） 
（2）根据图象：当k=±1时，有2个实数根，
当-1＜k＜1时，有3个实数根，
当k＞1或k＜-1时，方程有1个实根．

点评 本题考查了分段函数的解析式的求法．数形结合法判断根的个数问题．属于基础题．