Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为常数）满足条件；
①图象经过原点；②f（1-x）=f（1+x）；③方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数g（x）=|f（x）|-m有四个零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，依次确定c，a，b；从而求f（x）的解析式；
（2）函数g（x）=|f（x）|-m有四个零点可化为|f（x）|与y=m有四个不同的交点，作图求解．

解答： 解：（1）由函数f（x）的图象过原点知f（0）=0，
∴c=0；
又f（1-x）=f（1+x）；
∴a（1+x）²+b（1+x）=a（1-x）²+b（1-x）；
整理得（2a+b）x-（2a+b）=0，
∴2a+b=0，
即a=-

b

2

；
又∵方程f（x）=x有等根，
即ax²+（b-1）x=0，
故△=0，故b=1，a=-

1

2

；
故f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）函数g（x）=|f（x）|-m有四个零点可化为
|f（x）|与y=m有四个不同的交点，
作y=|f（x）|与y=m的图象如下，

故0＜m＜

1

2

．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质及函数的零点与函数图象的关系应用，属于基础题．