Question

已知{a_n}是公比为q的等比数列，求证：S_m+n=S_m+q^mS_n=S_n+qⁿS_m．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：根据数列的前n项和的定义、等比数列的通项公式进行证明即可．

解答： 证明：由题意知，{a_n}是公比为q的等比数列，
s_m+n=（a₁+a₂+…+a_m）+（a_m+1+a_m+2+…+a_n+m）
=s_m+（a₁q^m+a₂q^m+…+a_nq^m）
=s_m+q^m（a₁+a₂+…+a_n）
=s_m+q^ms_n，
∴s_m+n=s_m+q^ms_n．
同理可证：S_m+n=S_n+qⁿS_m，
所以S_m+n=S_m+q^mS_n=S_n+qⁿS_m成立．

点评：本题考查等比数列前n项和的定义，以及等比数列的通项公式，属于中档题．