Question

设{a_n}是集合{k|k可以表示成两个或两个以上的连续正整数的和}中所有的数从小到大排列成的数列，此数列的前n项和为S_n．
（1）试判断13，26，32是不是数列{a_n}中的项，说明理由；
（2）求a₁₀₀，S₁₀₀．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由{a_n}性质得13和26都是数列{a_n}中的项．两个或两个以上的连续正整数的和可表示为a_n=a+（a+1）+••+（a+m）=

(m+1)(2a+m)

2

．因为32不含大于1的奇因子，故32不是数列{a_n}中的项，不含大于1的奇数因子的正整数M都不能表示成两个或两上以上的连续正整数的和，在前100个正整数中，仅1，2，4，8，16，32，64不在数列{a_n}中，由此能求出a₁₀₀，S₁₀₀．

解答： 解：（1）∵13=6+7，
26=5+6+7+8，
∴13和26都是数列{a_n}中的项．
两个或两个以上的连续正整数的和可表示为：
a_n=a+（a+1）+••+（a+m）=

(m+1)(2a+m)

2

．
若m为奇数，则2a+m是{a_n}的大于1的奇因子；
若m为偶数，则m+1是{a_n}的奇因子，
∵32不含大于1的奇因子，∴32不是数列{a_n}中的项．
（2）设M=（2m+1）k，其中m，k∈Z⁺，
当m＜k时，M=（k-m）+（k-m+1）+…+（k-1）+k+…+（k-m），
当m≥k时，M=（m-k+1）（m-k+2）+…+m+（m-1）+…+（m-k）．
∴对于每一个大于1的奇数因子的正整数，
都可以表示成两个或两个以上的连续正整数的和，
另外，由（1）知不含大于1的奇数因子的正整数M都不能表示成两个或两上以上的连续正整数的和，
∴在前100个正整数中，
仅1，2，4，8，16，32，64不在数列{a_n}中，
∴a₁₀₀=107，
S₁₀₀=（1+2+3+4+…+107）-（1+2+4+8+16+32+64）=5651．

点评：本题考查数列的项的判断，考查数列的第100项和前100项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．