Question

已知下列四个命题：真命题为（　　）
p₁：?x₀∈R，使得x₀²=x₀-1；     
p₂：?x∈（0，

π

2

），都有sinx＜x；
p₃：?x∈R，都有2^x＞x²；         
p₄：?x₀∈R，使得lnx₀²≥x₀-1．

• A、p₂，p₄
• B、p₁，p₄
• C、p₂，p₃
• D、p₁，p₃

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据方程x²=x-1无解，可判断p₁；利用单位圆分析sinx与x的大小，可以判断p₂；举出反例x=-2，可判断p₃；举出反例x=2可判断p₄；

解答： 解：∵方程x²=x-1无解，故p₁：?x₀∈R，使得x₀²=x₀-1，为假命题；     
在如下图所示的单位圆中，

当x∈（0，

π

2

）时，有向线段MP的长度小于弧AP的长度，
即sinx＜x恒成立，
故p₂：?x∈（0，

π

2

），都有sinx＜x中，为真命题；
当x=-2时，2^x＜x²，故p₃：?x∈R，都有2^x＞x²，为假命题；          
当x=2时，ln2²≥2-1=1成立，故p₄：?x₀∈R，使得lnx₀²≥x₀-1，为真命题；
故正确的命题有p₂，p₄，
故选：A

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查全称命题和特称命题的真假判断，难度较大，属于难题．