Question

已知函数f（x）=x²e^ax．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在（1，+∞）单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负，可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，结合f（x）在（1，+∞）单调递增，即可求a范围．

解答： 解：（Ⅰ）当 a=1时，f（x）=x²e^x，f′（x）=（x²）′e^x+x²（e^x）′=2xe^x+x²e^x=（2x+x²）e^x
∴f′（1）=3e，f（1）=e，
∴切线方程为y-e=3e（x-1），即3ex-y-2e=0…（4分）
（Ⅱ）f′（x）=（x²）′e^ax+x²（e^ax）′=2xe^ax+ax²e^ax=x（ax+2）e^ax…（5分）
（1）当a=0时，f′（x）=2x，当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，
∴单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-∞，0）…（6分）
当a≠0时，令f′（x）=0，得x₁=0或x2=-

2

a

…（7分）
（2）当a＞0时，0＞-

2

a

，
当x＜-

2

a

时，f′（x）＞0，当-

2

a

＜x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
单调增区间为(-∞，-

2

a

)，（0，+∞），单调减区间为(-

2

a

，0)…（9分）
（3）当a＜0时，0＜-

2

a

，当x＞-

2

a

时，f′（x）＜0，当0＜x＜-

2

a

时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间是（0，-

2

a

），单调减区间是（-∞，0），（-

2

a

，+∞）           …（11分）
综上：当a=0时，单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-∞，0）
当a＞0时，单调增区间为(-∞，-

2

a

)，（0，+∞），单调减区间为(-

2

a

，0)
当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，-

2

a

），单调减区间是（-∞，0），（-

2

a

，+∞）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，满足条件；  …（12分）
当a＜0时，单调增区间为（0，-

2

a

）与f（x）在（1，+∞）单调递增不符          …（13分）
综上：a≥0                                                  …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．