Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点．设正方体的棱长为2a．
（1）求AD和B₁C所成的角；
（2）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）确定∠B₁CB为AD和B₁C所成的角，即可得到结论；
（2）取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连结BF，EG，GF，证明EG⊥平面B₁CD，利用面面垂直的判定，证明平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）连结EF，证明∠EFG为二面角E-B₁C-D的平面角，从而可求二面角E-B₁C-D的余弦值．

解答： （1）解：∵正方体中，AD∥BC
∴AD与B₁C所成的角为∠B₁CB
∵∠B₁CB=45°，∴AD和B₁C所成的角为45°（3分）
（2）证明：取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连结BF，EG，GF
∴CD⊥平面BCC₁B₁，且BF?平面BCC₁B₁
∴DC⊥BF
又BF⊥B₁C，CD∩B₁C=C
∴BF⊥平面B₁CD
∵GF∥CD，GF=

1

2

CD，BE∥CD，BE=

1

2

CD，
∴EB∥GF，EB=GF
∴四边形BFGE是平行四边形
∴BF∥GE
∴EG⊥平面B₁CD
又EG?平面EB₁D
∴平面EB₁D⊥平面B₁CD（8分）
（3）解：连结EF
∵CD⊥B₁C，GF∥CD，∴GF⊥B₁C
又EG⊥平面B₁CD，EF⊥B₁C
∴∠EFG为二面角E-B₁C-D的平面角
∵正方体的棱长为2a
∴在△EFG中，GF=a，EF=

3

a
∴cos∠EFG=

GF

EF

=

3

3

即二面角E-B₁C-D的余弦值为

3

3

（14分）

点评：本题考查空间角，考查线面垂直，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．