Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x²+（y+1）²=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S_△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,平面向量数量积的运算,抛物线的标准方程

专题：压轴题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ） 设抛物线方程为x²=2py，把点（2，1）代入运算求得 p的值，即可求得抛物线的标准方程．
（Ⅱ） 由直线与圆相切可得

|t+1|

1+k2

=1⇒k2=t2+2t．把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的范围．利用根与系数的关系及

OM

•

ON

＜0，求得|MN| =4

(1+k2)(t2+3t)

，求得点O到直线的距离，从而求得S△MON=2

t4+3t3

，由此函数在（0，4）单调递增，故有0＜S△MON＜16

7

，从而得出结论．

解答： 解：（Ⅰ） 设抛物线方程为x²=2py，
由已知得：2²=2p，所以 p=2，
所以抛物线的标准方程为 x²=4y．
（Ⅱ） 不存在．
因为直线与圆相切，所以 

|t+1|

1+k2

=1⇒k2=t2+2t．
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x²-4kx-4t=0．
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0，得 t＞0或t＜-3．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k且x₁•x₂=-4t，
∴y1•y2=(kx1+t)•(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=t2．
∵∠MON为钝角，∴

OM

•

ON

＜0，解得0＜t＜4，∵|MN|=

1+k2

|x1-x2|=4

(1+k2)(t2+3t)

，
点O到直线的距离为

|t|

1+k2

，∴S△MON=2

t4+3t3

，易证f(t)=2

t4+3t3

在（0，4）单调递增，
∴0＜S△MON＜16

7

，故不存在直线，当∠MON为钝角时，S_△MON=48成立．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，点到直线的距离公式，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．