Question

为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年更换l0 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车l28辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．
（1）求经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）；
（2）若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设a_n，b_n分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，{a_n}是首项为128，公比为1+50%=

3

2

的等比数列，{b_n}是首项为400，公差为a的等差数列，由此可求出经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）；
（2）若计划7年内完成全部更换，所以S（7）≥10000，由此可得不等式，从而可求a的最小值．

解答： 解：（1）设a_n，b_n分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，
依题意，{a_n}是首项为128，公比为1+50%=

3

2

的等比数列，{b_n}是首项为400，公差为a的等差数列，
{a_n}的前n项和S_n=

128×[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

=256[(

3

2

)n-1]，{b_n}的前n项和T_n=400n+

n(n-1)

2

a
所以经过n年，该市更换的公交车总数为：S（n）=S_n+Tⁿ=256[（

3

2

）ⁿ-1]+400n+

n(n-1)

2

a．
（2）若计划7年内完成全部更换，所以S（7）≥10000
所以256[（

3

2

）⁷-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000
即21a≥3082，所以a≥146

16

21

又a∈N^*，所以a的最小值为147．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，挖掘数量间的相互关系，合理地建立方程是解题的关键．