Question

设k∈R，若1≤x≤2时恒有x³-3x²+2≤（1-k）x+1≤0，则k的取值集合是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：1≤x≤2时恒有（1-k）x+1≤0，可得kk≥2；x³-3x²+2≤（1-k）x+1，则1-k≥x2-3x+

1

x

，求出1≤x≤2时，右边的最大值，可求k的取值集合．

解答： 解：∵1≤x≤2时恒有（1-k）x+1≤0，
∴

3-2k≤0 2-k≤0

，
∴k≥2．
x³-3x²+2≤（1-k）x+1，则1-k≥x2-3x+

1

x

，
令f（x）=x2-3x+

1

x

，则
设f′（x）=2x-3-

1

x2

=0在1≤x≤2时的解为a，
∴函数在（1，a）上单调减，在（a，2）上单调增，
∵f（1）=-1，f（2）=-

3

2

，
∴f（x）_max=f（1）=-1，
∴1-k≥-1，
∴k≤2．
∴k的取值集合是{2}．
故答案为：{2}．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查导数知识的运用，确定函数的最大值是关键．