Question

给出以下五个命题：
①对于任意的a＞0，b＞0，都有a^lgb=b^lga成立；
②直线y=x•tanα+b的倾斜角等于α；
③已知异面直线a，b成60°角，则过空间一点P且与a，b均成60°角的直线有且只有两条；
④在平面内，如果将单位向量的起点移到同一个点，那么终点的轨迹是一个半径为1的圆；
⑤已知函数y=f（x），若存在常数M＞0，使|f（x）|＜M•|x|对定义域内的任意x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．对于函数f（x）=

x2-1

-1，该函数是倍约束函数．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：①对a^lgb=b^lga两边取对数，得出正确结论；
②中，明确直线的斜率与倾斜角的关系，从而判定命题不成立；
③由已知中异面直线a与b所成的角为60°，设P为空间一点，过P分别作直线a，b的平行线，得到∠APB=60°，过P点作出直线a，b相交所成角的两条角平分线，进而根据三余弦定理即可得到答案；
④由单位向量的模长是1以及圆的定义，判定命题是否正确；
⑤函数f（x）=

x2-1

-1＜•|x|对定义域内的任意x均成立．

解答： 解：①中，∵a＞0，b＞0，若a^lgb=b^lga，则lga^lgb=lgb^lga，即lgb•lga=lga•lgb成立，∴命题正确；
②中，直线y=x•tanα+b的斜率是k=tanα，当α∈[0，π）且α≠

π

2

时，倾斜角等于α，否则，命题不成立；
③把异面直线a，b平移到相交，使交点为P，此时∠APB=60°，过P点作直线a，b相交所成角的两条角平分线c，d，如图所示：若存在其它直线与a，b都成60°角，则直线在该平面上的射影为c或d
∵d与a，b都成60°角，则在平面上射影为d的直线只有直线d一条，
∵c与a，b都成30°角，由三余弦定理，当直线与c夹角的余弦为

3

3

时，满足条件，这样的直线共有2条，
故过空间一点且与a和b都成60°角的直线共有3条，∴③不正确；
④∵单位向量的模长是1，∴在平面内将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆，命题正确；
⑤函数f（x）=

x2-1

-1＜•|x|对定义域内的任意x均成立，∴函数是倍约束函数，正确
故答案为：①④⑤．

点评：本题通过命题的判定考查了指数、对数的运算，直线的斜率与倾斜角，圆、函数等知识，是综合题．