Question

过点（2-

1

n

，0）（n∈N^*）且方向向量为（2，1）的直线交椭圆

x2

4

+y²=1于A_n，B_n两点，记原点为O，△OA_nB_n面积为S_n，则

lim

n→∞

S_n=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,极限及其运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可得直线的方程，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|A_nB_n|，再利用点到直线的距离公式可得原点O到直线A_nB_n的距离d_n．利用三角形的面积计算公式可得S_n=

1

2

dn|AnBn|．再利用极限的运算法则即可得出．

解答： 解：如图所示，
过点（2-

1

n

，0）（n∈N^*）且方向向量为（2，1）的直线l_n的方程为：y=

1

2

(x-2+

1

n

)．
联立

y= 1 2 (x-2+ 1 n ) x2+4y2=4

，化为2x2+2(

1

n

-2)x+

1

n2

-

4

n

=0．
∴x₁+x₂=2-

1

n

，x₁x₂=

1

2

(

1

n2

-

4

n

)．
∴|A_nB_n|=

(1+ 1 4 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 •[(2- 1 n )2-2( 1 n2 - 4 n )]

=

5 4 (4- 1 n2 + 4 n )

．
原点O到直线A_nB_n的距离d_n=

|0-1+ 1 2n |

1+ 1 4

=

2- 1 n

5

．
∴S_n=

1

2

dn|AnBn|=

1

2

×

2- 1 n

5

×

5 4 (4- 1 n2 + 4 n )

．
∴

lim

n→∞

Sn=

1

2

×

2-0

5

×

5 4 (4-0+0)

=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了直线的方向向量与斜率的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、极限的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力和推理能力，属于难题．