Question

2．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{5}$，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为10π．

Answer 1

分析 由O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，可得球心O₁一定在面PBC内，即球心O₁也是△PBC外接圆的圆心，
在△PBC中，由余弦定理、正弦定理可得R即可，

解答 解：因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，
根据球的性质，球心一定在垂线l，
∵球心O₁一定在面PBC内，即球心O₁也是△PBC外接圆的圆心，
在△PBC中，由余弦定理得cosB=$\frac{P{B}^{2}+B{C}^{2}-P{C}^{2}}{2BP•BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，⇒sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由正弦定理得：$\frac{PC}{sinB}=2R$，解得R=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为s=4πR²=10π，
故答案为：10π．

点评 本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．