Question

10．已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=1，a₅=5，等比数列{b_n}的前n项和${S_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}，（n∈{N^*}）$．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n（n=1，2，3，…），T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}为等差数列，且a₁=1，a₅=5，求出公差d=1，由此能求出a_n=n，；由等比数列{b_n}的前n项和${S_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}，（n∈{N^*}）$，能求出${b_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，n∈N^*．
（2）由c_n=a_nb_n=$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，且a₁=1，a₅=5，
∴a₅=a₁+4d=1+4d=5，解得d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）×d=1+（n-1）×1=n，
故a_n=n，n∈N^*．
∵等比数列{b_n}的前n项和${S_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}，（n∈{N^*}）$．
∴${b}_{1}={S}_{1}=2-\frac{1}{{2}^{1-1}}$=1，
b_n=S_n-S_n-1=（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-（2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）=$\frac{1}{{2}^{n-2}}-\frac{1}{{2}^{n-1}}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
当n=1时，上式成立，故${b_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，n∈N^*．
（2）∵c_n=a_nb_n=$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=$1×（\frac{1}{2}）^{0}+2×（\frac{1}{2}）+3×（\frac{1}{2}）^{2}$+…+n×（$\frac{1}{2}$）^n-1，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$1×\frac{1}{2}+2×（\frac{1}{2}）^{2}+3×（\frac{1}{2}）^{3}$+…+$n×（\frac{1}{2}）^{n}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{3}+…+（\frac{1}{2}）^{n-1}$-n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=1+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n×$（\frac{1}{2}）^{n}$=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$-n×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴${T_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，涉及到等差数列、等比数列、错位相减法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．