Question

14．（Ⅰ）如果关于x的不等式|x+3|+|x-2|＜a的解集不是空集，求参数a的取值范围；
（Ⅱ）已知正实数a，b，且h=min{a，$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$}，求证：0＜h≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如利用绝对值三角不等式求得|x+3|+|x-2|的最小值为5，从而求得参数a的取值范围．
（Ⅱ）根据题意可得0＜h≤a，0＜h≤$\frac{b}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，再来一用不等式的基本性质证得0＜h≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵|x+3|+|x-2|≥|（x+3）-（x-2）|=5，
当且仅当-3≤x≤2时，等号成立，故|x+3|+|x-2|的最小值为5，
如果关于x的不等式|x+3|+|x-2|＜a的解集不是空集，则a＞5．
（Ⅱ）证明：∵已知正实数a，b，且h=min{a，$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$}，
∴0＜h≤a，0＜h≤$\frac{b}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，
∴0＜h²≤$\frac{ab}{{a}^{2}{+b}^{2}}$≤$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴0＜h≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查三角不等式的应用，不等式的基本性质，属于中档题．