Question

13．若（ax+2）⁴展开式中含有x³项的系数为8则$\int_a^{e^2}{\frac{1}{x}dx=}$（　　）

• A． .2
• B． .$-\frac{1}{e^2}-1$
• C． .$-\frac{1}{e^2}+1$
• D． 2-e

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项公式求出展开式中含有x³项的系数，求出a的值，再计算定积分的值．

解答 解：（ax+2）⁴展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{4}^{r}$•（ax）^4-r•2^r=${C}_{4}^{r}$•a^4-r•x^4-r•2^r，
令4-r=3，解得r=1；
∴展开式中含有x³项的系数为${C}_{4}^{1}$•a³•2=8，
解得a=1；
∴$\int_a^{e^2}{\frac{1}{x}dx=}$=${∫}_{1}^{{e}^{2}}$$\frac{1}{x}$dx=lnx${|}_{1}^{{e}^{2}}$=lne²-ln1=2．
故选：A．

点评 本题考查了二项式展开式的通项公式研究定积分的计算问题，是中档题．