Question

12．已知$tan（{x+\frac{π}{4}}）=\frac{1+tanx}{1-tanx}$，y=tanx的周期T=π，函数y=f（x）满足$f（{x+a}）=\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，x∈R，（a是非零常数），则函数y=f（x）的周期是4|a|．

Answer 1

分析 由f（x+a）的关系式，将x换为x+a，可得f（x+2a），再将x换为x+2a，可得f（x+4a）=f（x），由周期函数的定义，即可得到所求周期．

解答 解：函数y=f（x）满足$f（{x+a}）=\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，x∈R，
可得f（x+2a）=$\frac{1+f（x+a）}{1-f（x+a）}$=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=$\frac{2}{-2f（x）}$=-$\frac{1}{f（x）}$，
即有f（x+4a）=-$\frac{1}{f（x+2a）}$=f（x），
则函数y=f（x）的最小正周期为4|a|．
故答案为：4|a|．

点评 本题考查函数的周期的求法，注意运用周期函数的定义，以及赋值法，考查运算能力，属于中档题．