Question

2．某市举行的英文拼字大赛中，要求每人参赛队选取2名选手比赛，有两种比赛方案，方案一：现场拼词，正确得2分，不正确不得分；方案二：听录音拼词，正确得3分，不正确不得分，比赛项目设个人赛：每位选手可自行选择方案，拼词一次，累计得分高者胜．团体赛：2名选手只能选择同一方案，每人拼词一次，两人得分累计得分高者胜．现有来自某参赛队的甲、乙两名选手，他们在“现场拼词”正确的概率均为$\frac{2}{3}$，在“听录音拼词”正确的概率为p₀（0＜p₀＜1）．
（Ⅰ）在个人赛上，甲选择了方案一，乙选择了方案二，结果发现他们的累计得分不超过3分的概率为$\frac{7}{9}$，求
p₀．
（Ⅱ）在团体赛上，甲、乙两人选择何种方案，累计得分的数学期望较大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，事件A的对立事件是“X=5”，
根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式列方程求出P₀；
（Ⅱ）设甲、乙两人都选择方案一得分为X₁，都选择方案二得分为X₂，
计算这两人都选择方案一累计得分的数学期望为E（2X₁），
都选择方案二累计得分的数学期望为E（3X₂），计算数学期望，比较得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知得，甲选择方案一，得分的概率为$\frac{2}{3}$，
乙选择方案二，得分的概率为P₀，且两人得分与否互不影响；
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=5”，
因为P（X=5）=$\frac{2}{3}$×P₀，所以P（A）=1-P（X=5）=1-$\frac{2}{3}$×P₀=$\frac{7}{9}$，
所以P₀=$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）设甲、乙都选择方案一得分为X₁，都选择方案二得分为X₂，
则这两人选择方案一累计得分的数学期望为E（2X₁），
选择方案二累计得分的数学期望为E（3X₂）；
由已知可得，X₁～B（2，$\frac{2}{3}$），X₂～B（2，P₀），
所以E（X₁）=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，E（X₂）=2×P₀，
从而E（2X₁）=2E（X₁）=$\frac{8}{3}$，E（3X₂）=3E（X₂）=6P₀；
若E（2X₁）＞E（3X₂），则$\frac{8}{3}$＞6P₀，所以0＜P₀＜$\frac{4}{9}$；
若E（2X₁）＜E（3X₂），则$\frac{8}{3}$＜6P₀，所以$\frac{4}{9}$＜P₀＜1；
若E（2X₁）=E（3X₂），则$\frac{8}{3}$=6P₀，所以P₀=$\frac{4}{9}$；
综上，0＜P₀＜$\frac{4}{9}$时，选择方案一累计得分的数学期望大；
$\frac{4}{9}$＜P₀＜1时，选择方案二累计得分的数学期望大；
P₀=$\frac{4}{9}$时，选择方案一或二，累计得分的数学期望一样大．

点评 本题考查了利用概率知识解决实际问题，以及数学期望的计算问题，确定X服从的分布是解题的关键．