Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M：（x-2）²+y²=$\frac{40}{9}$的公共弦长为$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程，
（2）过点P（0，2）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由2a=6，则a=3，由圆的方程，可得椭圆过点（2，$\frac{2\sqrt{10}}{3}$），代入椭圆方程，即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得AB的中点M点坐标，k•k_MD=-1，即可求得m的表达式，利用基本不等式的性质，即可求得点D的横坐标的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：2a=6，则a=3，圆M：（x-2）²+y²=$\frac{40}{9}$，圆心（2，0），半径为$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
由题意可知：椭圆经过点（2，$\frac{2\sqrt{10}}{3}$），代入椭圆方程：$\frac{4}{9}+\frac{40}{9{b}^{2}}=1$，解得：b²=8，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）由题意可知直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，整理得：（9k²+8）x²+36kx-36=0，
x₁+x₂=-$\frac{36k}{9{k}^{2}+8}$，x₁x₂=$\frac{36}{9{k}^{2}+8}$，
假设存在点D（m，0）满足题意，
取AB中点M（x₀，y₀）则MB⊥AB，
由x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{18k}{9{k}^{2}+8}$，则y₀=kx₀+2=$\frac{16}{9{k}^{2}+8}$，
则M（-$\frac{18k}{9{k}^{2}+8}$，$\frac{16}{9{k}^{2}+8}$），
由题意可知：k•k_MD=-$\frac{16k}{9{k}^{2}m+18k+8m}$=-1，
整理得：9k²m+2k+2m=0，
∴m=$\frac{2k}{9{k}^{2}+8}$=-$\frac{2}{9k+\frac{8}{k}}$≥-$\frac{\sqrt{2}}{12}$，
存在点D，且D点横坐标取值范围[-$\frac{\sqrt{2}}{12}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．