Question

19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=f（x-2）；当0≤x≤1时，f（x）=$\sqrt{x}$，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）等于（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 根据条件求出函数的周期是4，结合函数奇偶性和周期性的性质求出函数在一个周期内的值内f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，然后进行整体计算即可．

解答 解：由f（x+2）=f（x-2）得f（x+4）=f（x），则函数是周期为4的周期函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当0≤x≤1时，f（x）=$\sqrt{x}$，则f（0）=0，f（1）=1，
当x=0时，f（2）=f（-2）=-f（2），则f（2）=0，
f（3）=f（3-4）=f（-1）=-f（1）=-1，
f（4）=f（0）=0，
则在一个周期内f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0-1+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）
=f（2017）=f（1）=1，
故选：C．

点评 本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．