Question

11．如图，在四棱锥E-ABCD中，△ADE是正三角形，侧面ADE⊥底面ABCD，AB∥DC，BD=2DC=4，AD=3，AB=5．
（Ⅰ）求证：BD⊥AE；
（Ⅱ）求二面角B-AE-D的正切值；
（Ⅲ）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在正三角形ADE中，取AD中点G，连接EG，则EG⊥AD，利用面面垂直的性质可得EG⊥BD．再由已知结合勾股定理可的BD⊥AD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ADE，则BD⊥AE；
（Ⅱ）取AE中点H，则DH⊥AE，结合（Ⅰ）可得AE⊥BH，则∠BHD为二面角B-AE-D的平面角．求解直角三角形可得二面角B-AE-D的正切值；
（Ⅲ）在Rt△ADB中，sin$∠ABD=\frac{3}{5}$，得sin∠CDB=$\frac{3}{5}$．利用面积公式求得△BDC的面积，再由等积法求三棱锥C-BDE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：在正三角形ADE中，取AD中点G，连接EG，则EG⊥AD，
∵侧面ADE⊥底面ABCD，且侧面ADE∩底面ABCD=AD，
∴EG⊥平面ABD，则EG⊥BD．
∵AD=3，BD=4，AB=5，∴AD²+BD²=AB²，则BD⊥AD，
∵AD∩EG=G，
∴BD⊥平面ADE，则BD⊥AE；
（Ⅱ）解：取AE中点H，则DH⊥AE，
由（Ⅰ）知BD⊥AE，则AE⊥平面BDH，∴AE⊥BH，
则∠BHD为二面角B-AE-D的平面角．
∴tan∠BHD=$\frac{BD}{DH}$=$\frac{4}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}$；
（Ⅲ）解：在Rt△ADB中，sin$∠ABD=\frac{3}{5}$，
∵AB∥DC，∴sin∠CDB=$\frac{3}{5}$．
则${S}_{△BDC}=\frac{1}{2}×2×4×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}$．
∴${V}_{C-BDE}={V}_{E-BDC}=\frac{1}{3}×\frac{12}{5}×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的性质与线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，正确找出二面角的平面角是解答（Ⅱ）的关键，是中档题．