Question

8．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的$\frac{4}{5}$处，再自由落下，又弹回到上一次高度的$\frac{4}{5}$处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（　　）

• A． 50
• B． 80
• C． 90
• D． 100

Answer 1

分析 由题意得这个小球在这次运动中所经过的总路程S_n=2×10+2×10×$\frac{4}{5}$+2×10×（$\frac{4}{5}$）²+2×10×（$\frac{4}{5}$）³+…+2×10×（$\frac{4}{5}$）ⁿ-10，由此利用极限思想能求出结果．

解答 解：∵一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的$\frac{4}{5}$处，再自由落下，又弹回到上一次高度的$\frac{4}{5}$处，
∴这个小球在这次运动中所经过的总路程为：
S_n=2×10+2×10×$\frac{4}{5}$+2×10×（$\frac{4}{5}$）²+2×10×（$\frac{4}{5}$）³+…+2×10×（$\frac{4}{5}$）ⁿ-10
=2×$\frac{10[1-（\frac{4}{5}）^{n}]}{1-\frac{4}{5}}$-10，
假设这个小球能无限次反弹，
则这个小球在这次运动中所经过的总路程：
S=$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}${2×$\frac{10[1-（\frac{4}{5}）^{n}]}{1-\frac{4}{5}}$-10}=2×$\frac{10}{1-\frac{4}{5}}$-10=90．
故选：C．

点评 本题考查小球在运动中经过路程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和极限思想的合理运用．